Question

4．设命题p：函数f（x）=（a-$\frac{3}{2}$）^x是R上的减函数，命题q：函数f（x）=x²-4x+3在[a，4]上递增．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：函数f（x）=（a-$\frac{3}{2}$）^x是R上的减函数，可得$0＜a-\frac{3}{2}＜1$．命题q：由f（x）=（x-2）²-1，在[a，4]上递增，得2≤a＜4．p且q为假，p或q为真，可得p，q一真一假．

解答 解：命题p：函数f（x）=（a-$\frac{3}{2}$）^x是R上的减函数，由$0＜a-\frac{3}{2}＜1$得：$\frac{3}{2}＜a＜\frac{5}{2}$．
命题q：∵f（x）=（x-2）²-1，在[a，4]上递增，得2≤a＜4．
∵p且q为假，p或q为真，∴p，q一真一假．
若p真q假得，$\frac{3}{2}＜a＜2$，
若p假q真得，$\frac{5}{2}≤a＜4$． 
综上所得，a的取值范围是$\frac{3}{2}＜a＜2$或$\frac{5}{2}≤a＜4$．

点评 本题考查了函数的性质、复合命题真假的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．