Question

8．已知命题p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解．若p∧q是假命题，￢p也是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由命题p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，由p∧q是假命题，￢p也是假命题，得P为真命题，q为假命题，取交集得答案．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+8}$，
∴当m∈[-1，1]时，|x₁-x₂|_max=3，
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立．
可得：a²-5a-3≥3，∴a≥6或a≤-1，
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1．
命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解．
①当a＞0时，显然有解；
②当a=0时，2x-1＞0有解；
③当a＜0时，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
从而命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解时a＞-1．
由p∧q是假命题，￢p也是假命题，得P为真命题，q为假命题，
则a≤-1．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是对p条件中恒成立问题的正确转化以及命题q正确时a的取值范围的确定，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查推理与运算能力，属于中档题．