Question

15．已知如图几何体，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD=2，M为AF的中点，BN⊥CE，垂足为N．
（Ⅰ）求证：CF∥平面BDM；
（Ⅱ）求二面角M-BD-N的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，BD交于O，连接MO，由三角形中位线定理可得OM∥CF，再由线面平行的判定得答案；
（Ⅱ）分别以AD，AB，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面MBD与平面DNB的一个法向量，利用两个平面法向量所成角求得二面角M-BD-N的大小．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC，BD交于O，连接MO，
∵M为AF的中点，∴OM∥CF，
∵OM?平面BDM，CF?平面BDM，
∴CF∥平面BDM；
（Ⅱ）解：分别以AD，AB，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AF=2AB=2AD=2，M为AF的中点，BN⊥CE，
∴D（1，0，0），B（0，1，0），M（0，0，1），N（$\frac{4}{5}$，1，$\frac{2}{5}$），
则$\overrightarrow{DM}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{BM}=（0，-1，1）$，
设平面MBD的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=-{x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=-{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{m}=（1，1，1）$；
$\overrightarrow{DN}=（-\frac{1}{5}，1，\frac{2}{5}）$，$\overrightarrow{BN}=（\frac{4}{5}，0，\frac{2}{5}）$，
设平面DNB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=-\frac{1}{5}{x}_{2}+{y}_{2}+\frac{2}{5}{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}=\frac{4}{5}{x}_{2}+\frac{2}{5}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{n}=（1，1，-2）$．
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1×1+1×1-2×1}{\sqrt{3}×\sqrt{6}}=0$．
∴二面角M-BD-N的大小为90°．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求二面角的平面角，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．