Question

10．若函数f（x）=x³+2x²+x-a恰好有两个不同的零点，则a的值可以为（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{9}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 求函数的导数，要使函数有2个不同的零点，则只需极大值等于0或极小值等于0，即可得到结论

解答 解：∵f（x）=x³+2x²+x-a，
∴f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
由f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞-$\frac{1}{3}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得-1＜x＜-$\frac{1}{3}$，此时函数单调递减，
即当x=-1函数f（x）取得极大值f（-1）=-1+2-1-a=a，
当x=-$\frac{1}{3}$函数f（x）取得极小值f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{2}{27}$-a，
若要使函数有2个不同的零点，则只需极大值等于0或极小值等于0，
即a=0或-$\frac{2}{27}$-a=0，
解得a=0或a=-$\frac{2}{27}$，
故选：C

点评 本题主要考查函数零点的应用，利用函数和极值之间的关系是解决本题的关键．