Question

函数f（x）=3cos²

ωx

2

+

3

2

sinωx-

3

2

（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为等边三角形．将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，
将所得图象向右平移

2π

3

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象
（1）求函数g（x）的解析式及函数g（x）的对称中心．
（2）若3sin²

π

2

-

3

m[g（x）-1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，
求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据已知先化简求出f（x）的解析式，从而根据正弦函数图象变换规律可求函数g（x）的解析式及函数g（x）的对称中心．
（2）据已知有m≤

3sin2 x 2 -2

3sin x 2 +1

，设t=3sin

x

2

+1，则根据函数y=

1

3

（t-

5

t

-2）在t∈[1，4]上是增函数，可解得m≤-2．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），T=4，
∴ω=

π

2

，
∴f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

），
g（x）=

3

sin[

1

2

（x-

2π

3

）+

π

3

]+1=

3

sin

x

2

+1，
∵令

x

2

=kπ，k∈Z，
∴x=2kπ，k∈Z，对称中心为（2kπ，1），k∈Z，
（2）3sin²

x

2

-3msin

x

2

-m-2≥0，设sin

x

2

∈[0，1]，
有m≤

3sin2 x 2 -2

3sin x 2 +1

，设t=3sin

x

2

+1，t∈[1，4]，则sin

x

2

=

t-1

3

，
y=

3• 1 9 (t-1)2-2

t

=

t2-2t-5

3t

=

1

3

（t-

5

t

-2）在t∈[1，4]上是增函数，
∴t=1时，y_min=-2，
∴m≤-2．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，函数值域的确定，考查了转化思想，属于中档题．