Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，长轴长为2

3

，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若m=1，且

OA

•

OB

=0，求k的值（O点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件可知

c a = 6 3 a= 3

解得c=

2

．由a²=b²+c²，得b=1．由此可得到椭圆方程．

（Ⅱ）由题意知y=kx+1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程

x2 3 +y2=1 y=kx+1

消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0，由△＞0可知x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1•x2=0．再由

OA

•

OB

=0能够推导出k的值
（Ⅲ）由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，可得m2=

3

4

(k2+1)．将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．然后根据根的判别式和根与系数的关系进行求解．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（c＞0），依题意

c a = 6 3 a= 3

解得c=

2

．
由a²=b²+c²，得b=1．
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1

（Ⅱ）∵m=1，∴y=kx+1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程

x2 3 +y2=1 y=kx+1

消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0&，
则△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0&，解得k≠0．
故x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1•x2=0．
∵

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）•（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=(1+k2)×0+k•

-6k

1+3k2

+1=

1-3k2

3k2+1

=0∴k=±

3

3

．
（Ⅲ）由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，可得m2=

3

4

(k2+1)．
将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0（*）
∴x1+x2=

-6km

1+3k2

，x1•x2=

3m2-3

1+3k2

．
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4(k≠0)．
当且仅当9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

时等号成立．
经检验，k=±

3

3

满足（*）式．
当k=0时，|AB|=

3

．
综上可知|AB|_max=2．∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值S=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要综合运用椭圆的性质，需要熟练地掌握公式的灵活运用．