Question

已知函数f（x）=a（x²+1）+lnx．
（Ⅰ）讨论函数f′（x）＞0的单调性；
（Ⅱ）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a²成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+=（x＞0），
①当a≥0时，恒有f'（x）＞0，则f′（x）＞0在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，当时，f'（x）＞0，则f（x）在上是增函数；
当时，f'（x）＜0，则f（x）在上是减函数；
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在上是增函数，在上是减函数．
（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a²成立，
等价于ma-a²＞f（x）_max，
因为a∈（-4，-2），所以
由（Ⅰ）知：当a∈（-4，-2）时，f（x）在[1，3]上是减函数，
所以f（x）_max=f（1）=2a，
所以ma-a²＞2a，即m＜a+2，
因为a∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0，
所以实数m的取值范围为m≤-2．
分析：（Ⅰ）先求出f′（x），分a≥0、a＜0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可求得单调区间；
（Ⅱ）对任意x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a²成立，等价于ma-a²＞f（x）_max，由（Ⅰ）知f（x）的单调性，根据单调性易求f（x）_max，转化为关于a的不等式，分离出参数m后，再求关于a的函数的最值即可；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，转化为函数最值是解决恒成立问题的常用方法．