Question

17．设函数f（x）=e^x-alnx，g（x）=x+$\frac{1+a}{x}$-e^x．
（1）设函数h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）单调区间；
（2）若a=1，求证：f（x）＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围，判断函数的单调性．
（2）当a=1时求出函数的导数，构造函数$m（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，通过函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最小值，推出结果．

解答 解：（1）$h（x）=f（x）+g（x）=x-alnx+\frac{1+a}{x}$，定义域为（0，+∞），
所以$h'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{1+a}{x^2}$，
因为x+1＞0，则令x-1-a=0，得x=1+a，
若1+a≤0，即a≤-1，则h'（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上为增函数；
若1+a＞0，即a＞-1时，x∈（0，1+a），h'（x）＜0；
x∈（1+a，+∞），h'（x）＞0，则h（x）在（0，1+a）上为减函数，在（1+a，+∞）上为增函数．
综上所述，a≤-1时，h（x）的增区间为（0，+∞）；
a＞-1时，h（x）的减区间为（0，1+a），增区间为（1+a，+∞）．
（2）证明：当a=1时，f（x）=e^x-lnx（x＞0），
则$f'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，令$m（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，则$m'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}$＞0，
所以f'（x）=m（x）在（0，+∞）上单调递增，
而$f'（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0$，f'（1）=e-1＞0
所以存在唯一的${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，使得f'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，且lnx₀=-x₀，
所以f（x）在（0，x₀）上单调递增，（x₀，+∞）上单调递减，
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}=\frac{1}{x_0}+{x_0}＞2$，
所以若a=1时，f（x）＞2．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查构造法以及转化思想，分类讨论思想的应用，考查计算能力．