【题目】如图,在四棱锥中,为正方形,且平面平面,点为棱的中点.
(1)在棱上是否存在一点,使得平面?并说明理由;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)存在,理由见解析;(2).
【解析】
(1)当为中点时,分别取,中点,,连接,,,,由平面几何知识证明四边形是平行四边形,最后由线面平行的判定定理证明即可;
(2)取中点,连接,,以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.
(1)当为中点时,平面.理由如下:
如图,分别取,中点,,连接,,,
又∵是的中点,∴,
又∵为正方形,则,
∴,
又∵是中点,∴,,则四边形是平行四边形
∴
又平面,平面,
∴平面.
(2)如图,取中点,连接,
又,则
∵平面平面,平面平面,平面
∴平面
∴以为原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系
设,则,,,,
∴,,
设平面的一个法向量为,则
令得,,则,
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】如图,在四边形中,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.
(1)证明:平面;
(2)若为的中点,二面角等于60°,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的直角坐标方程,并求时直线的普通方程;
(2)若直线和曲线交于两点,点的直角坐标为,求的最大值.
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【题目】甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图,如图所示,记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为( )
A.s1s2s3B.s1s3s2
C.s3s1s2D.s3s2s1
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【题目】天干地支纪年法,源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如说第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”… …依此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”… …依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年,史称“辛亥革命”.1949新中国成立,请推算新中国成立的年份为( )
A.己丑年B.己酉年
C.丙寅年D.甲寅年
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【题目】抛物线,为直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,.
(1)证明:直线过定点;
(2)若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求该圆的面积.
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【题目】过点的动直线l与y轴交于点,过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.
(1)求M的轨迹方程;
(2)设M位于第一象限,以AM为直径的圆与y轴相交于点N,且,求的值.
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【题目】赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,又称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图(1)),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图(2)所示的图形,它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形,设,若在大正六边形中随机取一点,则此点取自小正六边形的概率为( )
A.B.
C.D.
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