Question

17．四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=a，E为棱PC上点．
（1）面EBD与面PAC能否始终垂直，证明你的结论；
（2）若E为PC中点，求异面直线BE与PA所成角；
（3）当△EBD面积最小时，求E-BDC体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，面EBD与面PAC能始终垂直．证明如下：连接BD，AC，设BD∩AC=O，连接OE．利用菱形的性质可得：BD⊥AC．由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可证明面EBD⊥面PAC．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．利用$cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BE}|}$即可得出异面直线BE与PA所成角．
（3）当OE⊥PC时，OE为异面直线BD与PC的距离，取得最小值．可得OE=OC•sin∠ECO．此时当△EBD面积取得最小值，E-BDC体积=$\frac{1}{3}×{S}_{△BED}$×EC．

解答 解：（1）如图所示，面EBD与面PAC能始终垂直．证明如下：
连接BD，AC，设BD∩AC=O，连接OE．
∵底面四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又BD?平面BDE，
∴面EBD⊥面PAC．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．
A（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$a，0），P（0，0，a），B$（\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}a，0）$，E$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}a，\frac{a}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{BE}$=$（-\frac{a}{2}，0，\frac{a}{2}）$，
∴$cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{2}}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}×2}×a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴异面直线BE与PA所成角为$\frac{π}{4}$．
（3）O$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}a，0）$，
当OE⊥PC时，OE且异面直线BD与PC的距离，取得最小值．
∴OE=OC•sin∠ECO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×$\frac{PA}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$×$\frac{a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．
∴当△EBD面积最小为$\frac{1}{2}BD•\frac{\sqrt{3}}{4}a$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$时，
E-BDC体积=$\frac{1}{3}×{S}_{△BED}$×EC=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$×$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}a}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{32}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、向量夹角公式、数量积运算性质、直角三角形的边角关系、三棱锥的体积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．