Question

2．曲线$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$上的点到原点O的距离最小值等于3．

Answer 1

分析 设曲线上一点A的坐标，利用两点间的距离公式表示出A到原点的距离d，则得到d²=x²+y²=x²-1+$\frac{4}{{x}^{2}-1}$+5然后利用重要不等式进行变形后，即可求出d的最小值．

解答 解：设曲线上一点A（x，y），则A到原点的距离为d²=x²+y²，
∵$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$，
∴y²=$\frac{4{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$=4+$\frac{4}{{x}^{2}-1}$≥0，
∴x²-1＞0，
∴d²=x²+y²=x²+4+$\frac{4}{{x}^{2}-1}$=x²-1+$\frac{4}{{x}^{2}-1}$+5≥2$\sqrt{（{x}^{2}-1）•\frac{4}{{x}^{2}-1}}$=4+5=9，当且仅当x=±$\sqrt{3}$时取等号，
∴d≥3，
故曲线$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$上的点到原点O的距离最小值等于3，
故答案为：3．

点评 此题考查学生灵活运用重要不等式求函数的最值，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．