Question

6．已知函数f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[0，\frac{2π}{3}]$上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性求得它的最小正周期．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间$[0，\frac{2π}{3}]$上的值域．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=2•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x=1+2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）在区间$[0，\frac{2π}{3}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）=[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，3]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．