Question

15．F₁，F₂为双曲线的两个焦点，以F₂为圆心作圆，已知圆F₂经过双曲线的中心，且与双曲线相交于M点，若直线MF₁恰与圆F₂相切，则该双曲线的离心率e为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$+2
• C． $\sqrt{2}$+2
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 分析知∠F₁MF₂是直角，又由MF₂的长度为半径c，在直角三角形F₁MF₂中勾股定理建立相应的方程变形求e．

解答 解：易知圆F₂的半径为c，又直线MF₁恰与圆F₂相切，∠F₁MF₂是直角，
∵|F₁F₂|=2c，|MF₂|=c，|F₁M|=2a+c，
∴在直角三角形F₁MF₂中有
（2a+c）²+c²=4c²，
即e²+2e-2=0，
∵e＞1，∴e=$\sqrt{3}$+1．
选选D．

点评 考查焦点三角形的几何特征与椭圆的定义，属于训练基本概念的题型，根据几何特征与定义将三边用参数a，b，c表示出来再根据离心率公式进行变形，训练变形的能力．