【题目】
如图所示，在多面体 
中，四边形 
均为正方形，点
为 
的中点，过
的平面交 
于 点
．
(1) 证明： 
∥
；
(2) 求二面角
的余弦值．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析： 
由线面平行的判定定理证明
，即可证明结论；
建立空间直角坐标系，求出二面角两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值求出二面角的余弦值；
解析：（1） 由正方形的性质可知 
，
且 
，所以四边形 
为平行四边形，
从而 
．又 
， 
，
于是 
∥
（2） 因为四边形 
， 
， 
均为正方形，
所以 
， 
， 
且 
．
以 
为原点，分别以 
， 
， 
为 
轴， 
轴和 
轴单位
正向量建立如图所示的空间直角坐标系，
可得点的坐标 
， 
， 
， 
， 
， 
，而 
点为 
的中点，所以 
点的坐标为 
．
设面 
的法向量为 
，而该面上向量 
， 
，由 
， 
得 
， 
， 
应满足方程组 
为其一组解，所以可取 
．
设面 
的法向量为 
，而该面上向量 
， 
，
由此同理可得 
，
所以结合图形知二面角 
的余弦值为 
．
每课必练系列答案
巧学巧练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF= 
，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ 
的位置， 
.
（1）证明： 
平面ABCD；
（2）求二面角 
的正弦值.
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【题目】已知椭圆
的离心率为
，左顶点为
，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于
两点，其中点
在第二象限，过点
作
轴的垂线交
于点
．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵当直线
的斜率为
时，求
的面积；
⑶试比较
与
大小．
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【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．(12分)
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【题目】已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ 
时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则f（6）=（ ）
A.﹣2
B.﹣1
C.0
D.2
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【题目】在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（
吨）与相应的生产能耗
（吨）标准煤的几组对照数据：
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
， 
）
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