Question

7．在（x²+1）（x-2）⁷的展开式中x⁵的系数是644．

Answer 1

分析 （x²+1）（x-2）⁷的展开式中x⁵的系数由两部分相加构成：第一部分是由第一个式子x²+1中x²的系数1与第二个式子（x-2）⁷的展开式中x³的系数之积，第二部分是由第一个式子x²+1中的1与第二个式子（x-2）⁷的展开式中x⁵的系数之积，由此能求出结果．

解答 解：（x²+1）（x-2）⁷的展开式中x⁵的系数由两部分相加构成：
第一部分是由第一个式子x²+1中x²的系数1与第二个式子（x-2）⁷的展开式中x³的系数之积，
即：1×${C}_{7}^{3}×{1}^{3}×{C}_{4}^{4}（-2）^{4}$=560．
第二部分是由第一个式子x²+1中的1与第二个式子（x-2）⁷的展开式中x⁵的系数之积，
即：1×${C}_{7}^{5}×{1}^{5}×{C}_{2}^{2}×（-2）^{2}$=84，
∴在（x²+1）（x-2）⁷的展开式中x⁵的系数是：
560+84=644．
故答案为：644．

点评 本题考查展开式中x⁵的系数的求法，考查二项式定理、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．