Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+a与函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x的图象上恰有三对关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{10}{3}$，$\frac{7}{6}$）
• B． （$\frac{7}{6}$，$\frac{10}{3}$）
• C． （-$\frac{7}{6}$，$\frac{10}{3}$）
• D． （-$\frac{10}{3}$，-$\frac{7}{6}$）

Answer 1

分析 令f（x）=g（-x）可得a=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x，求出h（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x的单调性和极值，从而可得出a的范围．

解答 解：由题意可知f（x）=g（-x）有三解，
即a=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x有三解，
设h（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x，则h′（x）=-x²+x+2，
令h′（x）=0可得x=-1或x=2．
∴当x＜-1或x＞2时，h′（x）＜0．当-1＜x＜2时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
∴当x=-1时，h（x）取得极小值h（-1）=-$\frac{7}{6}$，当x=2时，h（x）取得极大值$\frac{10}{3}$．
∴-$\frac{7}{6}$＜a＜$\frac{10}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了函数函数零点与函数单调性、极值的关系，属于中档题．