Question

5．已知函数f（x）=|3x-1|+x+$\frac{2}{3}$．
（1）求函数f（x）的最小值m；
（2）若实数x，y，z满足x²+y²≤z≤m，求x+y+z的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用零点分段法，分析函数的单调性，进而可得当x=$\frac{1}{3}$时，函数取最小值1；
（2）当x+y+z取最大值时，x，y为正数，且z=1时，结合基本不等式的变形公式，可得答案．

解答 解：（1）当x＜$\frac{1}{3}$时，f（x）=-2x+$\frac{5}{3}$为减函数，
当x≥$\frac{1}{3}$时，f（x）=4x-$\frac{1}{3}$为增函数，
故当x=$\frac{1}{3}$时，函数取最小值1，
即m=1；
（2）若实数x，y，z满足x²+y²≤z≤1，
则当x+y+z取最大值时，x，y为正数，且z=1时，
此时（x+y）²≤2（x²+y²）≤2，
即x+y≤$\sqrt{2}$，
则x+y+z≤$\sqrt{2}$+1，
即x+y+z的最大值为$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值及其几何意义，基本不等式，难度中档．