Question

12．直角△ABC中，AB=4，BC=3，点D在斜边AC上，且AD=4DC．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求sin∠CDB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直角△ABC中，利用直角三角形中的边角关系求得AC和cosC的值，再根据AD=4DC求得CD的值，利用余弦定理求得BD的值．
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理求得sin∠CDB的值．

解答 解：（Ⅰ）直角△ABC中，∵AB=4，BC=3，A=90°，∴AC=5，cosC=$\frac{3}{5}$，sinC=$\frac{4}{5}$．
∵AD=4DC，∴AD=4，CD=1，
在△BCD中，由余弦定理，BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=9+1-2×3×1×$\frac{3}{5}$=$\frac{32}{5}$，∴BD=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理，得 $\frac{CD}{sin∠CBD}$=$\frac{BD}{sinC}$，$\frac{1}{sin∠CBD}$=$\frac{\frac{4\sqrt{10}}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．