Question

7．已知函数f（x）=a-be^-x（e是自然对数的底数，e=2.71828…）的图象在x=0处的切线方程为y=x．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 若g（x）=mlnx-e^-x+$\frac{1}{2}$mx²-（m+1）x+1（m＞0），求函数h（x）=g（x）-f（x）的单调区间；
（Ⅲ） 若正项数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，${a}_{n}{e}^{-{a}_{n+1}}$=f（a_n）=f（a_n）证明：数列{a_n}是递减数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，得到a-b=0，b=1，从而求出a，b的值；
（Ⅱ）先求出h（x）的表达式，求出h（x）的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性即可；
（Ⅲ）要证数列{a_n}是递减数列，只需设出u（x）=e^x-x-1，x∈（0，+∞），通过求导得到u（x）＞u（0）=0，即e^x＞x+1，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意得f（0）=0，f′（0）=1，则a-b=0，b=1，
解得：a=1，b=1，
（Ⅱ）由题意得h（x）=mlnx+$\frac{1}{2}$mx²-（m+1）x，x∈（0，+∞）．
h′（x）=$\frac{m}{x}$+x-（m+1）=$\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
（1）当0＜m＜1时，令h′（x）＞0，并注意到函数的定义域（0，+∞），
得0＜x＜m或x＞1，则h（x）的增区间是（0，m），（1，+∞），
同理可求h（x）的减区间是（m.1）；
（2）当m=1时，h′（x）≥0，则h（x）是定义域（0，+∞）内的增函数；
（3）当m＞1时，令h′（x）＞0，并注意到函数的定义域（0，+∞），
得0＜x＜1或x＞m，
则h（x）的增区间是（0，1），（m，+∞），
同理可求h（x）的减区间是（1，m）；
（Ⅲ）证明：因为正项数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n${e}^{{-a}_{n+1}}$=f（a_n），
所以ln（a_n${e}^{{-a}_{n+1}}$）=ln（1-${e}^{{-a}_{n}}$），即a_n+1=-ln$\frac{1{-e}^{{-a}_{n}}}{{a}_{n}}$，
要证数列{a_n}是递减数列：
?a_n+1＜a_n?-ln$\frac{1{-e}^{{-a}_{n}}}{{a}_{n}}$＜a_n?$\frac{1{-e}^{{-a}_{n}}}{{a}_{n}}$＞${e}^{{-a}_{n}}$?${e}^{{a}_{n}}$＞a_n+1，
设u（x）=e^x-x-1，x∈（0，+∞），
∵u′（x）=e^x-1＞0，
∴u（x）是（0，+∞）上的增函数，则u（x）＞u（0）=0，
即e^x＞x+1，故：${e}^{{a}_{n}}$＞a_n+1，
则数列{a_n}是递减数列．

点评 本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，考察转化思想，不等式的证明问题，本题是一道难题．