Question

17．已知O为坐标原点，椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短轴长为2，F为其右焦点，P为椭圆上一点，且PF与x轴垂直，$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OP}=3$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若以AB为直径的圆恒过原点O，求|AB|弦长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短轴长为2，F为其右焦点，P为椭圆上一点，且PF与x轴垂直，$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OP}=3$及a、b、c三者关系，计算即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，再设直线方程代入题意方程，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，即可求得结论．

解答 解：（1）由已知得2b=2，b=1，
又$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OP}=|{\overrightarrow{OF}}|•|{\overrightarrow{OP}}|cos∠POF={|{\overrightarrow{OF}}|^2}={c^2}=3$，∴a²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（2）（i）当直线OA的斜率不存在或斜率为零时，易知$|AB|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{5}$；…（7分）
（ii）当直线OA的斜率存在且不为零时，
∵直线OA，OB互相垂直且由图象的对称性知，直线OA，OB为椭圆C有四个交点，从中任取两点作弦长AB所得的值相等．
设直线OA方程为：y=kx（k≠0）
联立：$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得：${x^2}=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$
不妨取A$（{\frac{2}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}，\frac{2k}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}}）$，同理取B$（{\frac{2k}{{\sqrt{4+{k^2}}}}，-\frac{2}{{\sqrt{4+{k^2}}}}}）$
则|AB|=$\sqrt{{{（{\frac{2}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}-\frac{2k}{{\sqrt{4+{k^2}}}}}）}^2}+{{（{\frac{2k}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}+\frac{2}{{\sqrt{4+{k^2}}}}}）}^2}}$
=$2\sqrt{\frac{1}{{1+4{k^2}}}+\frac{k^2}{{4+{k^2}}}+\frac{k^2}{{1+4{k^2}}}+\frac{1}{{4+{k^2}}}}$
=$2\sqrt{\frac{{1+{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+\frac{{{k^2}+1}}{{4+{k^2}}}}$=$2\sqrt{5\frac{{{{（{{k^2}+1}）}^2}}}{{（{1+4{k^2}}）（{4+{k^2}}）}}}$
=$2\sqrt{5}•\sqrt{\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{4{k^4}+17{k^2}+4}}}$＜$2\sqrt{5}•\sqrt{\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{4{k^4}+8{k^2}+4}}}$=$\sqrt{5}$，
∴综上（i） （ii）可知：$|AB{|_{max}}=\sqrt{5}$…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．