Question

5．已知椭圆C经过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），两焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）
（1）求椭圆C的标准方程
（2）已知点A（0，-1），直线l与椭圆C交于两点M，N，若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）通过焦点坐标可设椭圆C的标准方程且a²-b²=3，将点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程，计算即得结论；
（2）通过△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形可得直线l与x轴平行，利用k_AM•k_AN=-1计算即可．

解答 解：（1）∵两焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
∴可设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），a²-b²=3，①
又∵椭圆C经过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，②
联立①②，解得a²=4，b²=1，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）知，点A（0，-1）即为椭圆的下顶点，
∵△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴直线l与x轴平行，设直线l方程为y=t（-1＜t＜1），
则M（-2$\sqrt{1-{t}^{2}}$，t），N（2$\sqrt{1-{t}^{2}}$，t），
∵k_AM=-$\frac{t+1}{2\sqrt{1-{t}^{2}}}$，k_AN=$\frac{t+1}{2\sqrt{1-{t}^{2}}}$，
∴k_AM•k_AN=-$\frac{t+1}{2\sqrt{1-{t}^{2}}}$•$\frac{t+1}{2\sqrt{1-{t}^{2}}}$=-1，
解得：t=$\frac{3}{5}$或t=-1（舍），
∴直线l方程为：y=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．