Question

求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系．

Answer 1

圆的方程为(x＋1)²＋y²＝20.点P在圆外

(解法1)(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r².
∵圆心在y＝0上，故b＝0.∴圆的方程为(x－a)²＋y²＝r².
∵该圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴解之得a＝－1，r²＝20.
∴所求圆的方程为(x＋1)²＋y²＝20.
(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)∵圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴圆心C必在线段AB的垂直平分线l上．∵k_AB＝＝－1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2，3)，故AB的垂直平分线l的方程为y－3＝x－2即x－y＋1＝0.又知圆心在直线y＝0上，故圆心坐标为C(－1，0)．∴半径r＝|AC|＝.故所求圆的方程为(x＋1)²＋y²＝20.又点P(2，4)到圆心C(－1，0)的距离为d＝|PC|＝>r.
∴点P在圆外．