Question

已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，-2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）有最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（-∞，1）
．（2分）
由题意得对一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴．（5分）
当x∈[-3，-2）时，，
∴．故．（7分）
（Ⅱ）假设存在正实数a，使得成立.．（9分）
由，得，
∴．由于，故应舍去．
当时，．（11分）
令，解得或．（13分）
另解：假设存在正实数a，使得成立．
设，则．（9分）
由，解得或．
因为x∈（-∞，1），
∴g（x）在上单调递增，在上单调递减．
∴．（11分）
令，解得或．（14分）
分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出函数的导数，利用导数在[-3，-2）恒为正，通过二次函数的最值求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）假设存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）有最大值，直接求出a的值．
另解：假设存在正实数a，使得成立．设，求出＞0，解得或．通过x∈（-∞，1），g（x）在上单调递增，在上单调递减．得到，解得或．
点评：本题只要考查求函数的导数以及函数的最值问题，体现转化的数学思想，特别注意新变量的取值范围，同时也考查了二次函数在定区间上的最值问题，恒成立问题，属中档题．