Question

3．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x-1，g（x）=-$\frac{lnx}{x}$-a（x+1），其中a∈R
（1）若函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围
（2）如果函数p（x），q（x）在公共定义域D上满足p（x）＜q（x），那么就称p（x）为q（x）的“底下函数”．证明：当a＜1时，f（x）为g（x）的“底下函数”

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，讨论1+a≤0，1+a＞0，解不等式可得单调区间，即可得到a的范围；
（2）当a＜1时，求得g（x）-f（x）=-$\frac{lnx}{x}$+x-lnx+1-a，令h（x）=x-lnx（x＞0），求得导数，以及单调区间，可得极小值，且为最小值1；令m（x）=$\frac{lnx}{x}$，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，由不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-（1+a）x-1的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x}$-（1+a），x＞0，
当1+a≤0，即a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；
当1+a＞0，即a＞-1时，当x＞$\frac{1}{1+a}$时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜$\frac{1}{1+a}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则实数a的取值范围是（-1，+∞）；
（2）证明：当a＜1时，g（x）-f（x）=-$\frac{lnx}{x}$-a（x+1）-lnx+（1+a）x+1
=-$\frac{lnx}{x}$+x-lnx+1-a，
令h（x）=x-lnx（x＞0），h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增；
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减．
可得h（x）在x=1处取得最小值，且为1；
令m（x）=$\frac{lnx}{x}$，m′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）递减；
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e）递增．
可得m（x）在x=e处取得最大值，且为$\frac{1}{e}$，
即有h（x）＞m（x）恒成立，即-$\frac{lnx}{x}$+x-lnx＞0恒成立，
由1-a＞0，可得-$\frac{lnx}{x}$+x-lnx+1-a＞0，即g（x）＞f（x），
即f（x）＜g（x），
故当a＜1时，f（x）为g（x）在（0，+∞）的“底下函数”．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查新定义的理解和运用，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，以及恒成立问题的解法，属于中档题．