Question

14．甲、乙两人进行射击比赛，每人最多射击3次，两人必须交替射击直至其中一人连续击中两次，连续击中两次者获胜，比赛结束；若两人各射击3次后仍未出现其中一人连续击中，则判定比赛不成功，比赛结束，采取抛掷硬币的方法决定谁先射击，若甲、乙两人射中的概率均为$\frac{1}{2}$，且两人射击互不影响．
（1）求甲获胜的概率；
（2）用ξ表示比赛结束时总的射击次数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）先确定甲、乙两人先射的概率分布为$\frac{1}{2}$，射击次数2或3．
分类得出：甲先射，射击次数2，P（X=2），射击次数3，P（X=3），
乙先射，射击次数2，P（Y=2），P（Y=3），
求解甲获胜的概率．
（2）用ξ表示比赛结束时总的射击次数，则ξ=3，4，5，6
甲先射甲胜，乙先射乙胜，P（ξ=3），
甲先射乙胜，乙先射甲胜，P（ξ=4），
甲先射甲胜，乙先射乙胜，P（ξ=5），
，运用对立事件求解P（ξ=6），
求解分布列，数学期望即可．

解答 解：（1）∵采取抛掷硬币的方法决定谁先射击，
∴甲、乙两人先射的概率分布为$\frac{1}{2}$，射击次数2或3．
i）甲先射，射击次数2，P（X=2）=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
射击次数3，P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{32}$
ii）乙先射，射击次数2，P（Y=2）=$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$．
P（Y=3）=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（4×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{32}$．
甲胜的概率为：$\frac{1}{8}$$+\frac{3}{32}$+$\frac{3}{32}$+$\frac{1}{32}$=$\frac{11}{32}$．
（2）∵用ξ表示比赛结束时总的射击次数，则ξ=3，4，5，6
∴甲先射甲胜，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×1）=$\frac{1}{8}$．
乙先射乙胜，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×1）=$\frac{1}{8}$．
∴P（ξ=3）=$\frac{1}{8}$$+\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$．
∵甲先射乙胜，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（1$-\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{32}$．
乙先射甲胜，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（1$-\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{32}$．
∴P（ξ=4）=$\frac{3}{32}$$+\frac{3}{32}$=$\frac{3}{16}$．
∵甲先射甲胜，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（1$-\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{64}$
乙先射乙胜，$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）×（1$-\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{64}$
∴P（ξ=5）=$\frac{3}{64}$$+\frac{3}{64}$=$\frac{3}{32}$．
P（ξ=6）=1-$\frac{1}{4}$$-\frac{3}{16}$$-\frac{3}{32}$=$\frac{15}{32}$，
分布列

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{15}{32}$

E（ξ）=3×$\frac{1}{4}$$\frac{153}{32}$$+4×\frac{3}{16}$$+5×\frac{3}{32}$$+6×\frac{15}{32}$=$\frac{153}{32}$

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用．