Question

12．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由菱形性质，得BD⊥AC，由线面垂直得BD⊥AE，由此能证明BD⊥平面ACFE．
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线所成的角余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥AE．
∵AC∩AE=A，∴BD⊥平面ACFE．（5分）
解：（Ⅱ）以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，
则$B（0，\sqrt{3}，0）$，$D（0，-\sqrt{3}，0）$，E（1，0，2），F（-1，0，a）（a＞0），$\overrightarrow{OF}=（{-1，0，a}）$---（6分）
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}y=0\\ x+2z=0\end{array}\right.$，令z=1，则$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），（8分）
由题意得$sin{45°}=|cos＜\overrightarrow{OF}，n＞|=\frac{{|\overrightarrow{OF}•n|}}{{|\overrightarrow{OF}||n|}}=\frac{|2+a|}{{\sqrt{{a^2}+1}\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得a=3或$-\frac{1}{3}$．
由a＞0，得a=3，（10分）
$\overrightarrow{OF}=（-1，0，3）$，$\overrightarrow{BE}$=（1，-$\sqrt{3}$，2），
cos＜$\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{OF}|•|\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{-1+6}{\sqrt{10}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
即所求的异面直线所成的角余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成铁的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．