Question

如图，圆C：（x+2）²+y²=36，P是圆C上的任意一动点，A点坐标为（2，0），线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q．
（1）求点Q的轨迹G的方程；
（2）已知B，D是轨迹G上不同的两个任意点，M为BD的中点．①若M的坐标为M（2，1），求直线BD所在的直线方程；②若BD不经过原点，且不垂直于x轴，点O为轨迹G的中心．
求证：直线BD和直线OM的斜率之积是常数（定值）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）结合已知条件根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C、A为焦点，长轴长等于6的椭圆，由此能求出点Q的轨迹G的方程．
（2）①设B、D的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），利用点差法能求出BD所在的直线方程．
②设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知条件推导出kBD=

y1-y2

x1-x2

=-

5(x1+x2)

9(y1+y2)

，kOM=

y1+y2

x1+x2

，由此能证明直线BD和直线OM的斜率之积是常数．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）圆C的圆心为C（-2，0），半径r=6，|CA|=4．（1分）
连结QA，由已知得|QA|=|QP|，（2分）
∵|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=CP=r=6＞|CA|．（3分）
根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C、A为焦点，长轴长等于6的椭圆，
即a=3，c=2，b²=a²-c²=9-4=5，（4分）
∴点Q的轨迹G的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．（5分）
（2）①设B、D的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则

5 x 2 1 +9 y 2 1 =45 5 x 2 2 +9 y 2 2 =45

（6分）
两式相减，得5（x₁-x₂）（x₁+x₂）+9（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，（7分）
当BD的中点M的坐标为（2，1）时，有

x1+x2=4 y1+y2=2

，（8分）
∴20（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，即kBD=

y1-y2

x1-x2

=-

10

9

．（9分）
∴BD所在的直线方程为y-1=-

10

9

(x-2)，即10x+9y-29=0．（10分）
②证明：设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），且x₁≠x₂，
由①可知kBD=

y1-y2

x1-x2

=-

5(x1+x2)

9(y1+y2)

，（11分）
又kOM=

y1+y2

x1+x2

（12分）
∴kBD•kOM=-

5(x1+x2)

9(y1+y2)

×

y1+y2

x1+x2

=-

5

9

（定值）．（14分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查两直线的斜率之积为常数的证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．