Question

平面上定点F（0，1）和定直线l：y=-1，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，求证：λ1+λ2为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算

专题：计算题,证明题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）方法一、设动点P（x，y），则动点Q（x，-1），运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，化简即可得到；
方法二、运用平方差公式，结合斜率的平方即为模的平方，结合抛物线的定义，即可得到轨迹方程；
（2）运用平面几何的知识：相似三角形的性质，结合斜率共线知识，以及抛物线的定义，即可得到定值0．

解答： 解：（1）方法一、设动点P（x，y），则动点Q（x，-1），
即有

PF

+

PQ

=（-x，1-y）+（0，-1-y）=（-x，-2y），

PF

-

PQ

=（-x，2），
（

PF

+

PQ

）•（

PF

-

PQ

）=x²-4y=0，
即有x²=4y，即为动点P的轨迹C的方程；
方法二、由于（

PF

+

PQ

）•（

PF

-

PQ

）=0，
则

PF

2-

PQ

2=0，即有|

PF

|=|

PQ

|，
即P到定点F的距离等于到定直线l的距离，
由抛物线的定义，可知P的轨迹为抛物线，且F为焦点，l为准线，
即有轨迹方程为x²=4y；
（2）证明：如图，由于

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，
可得，λ₁λ₂＜0，
于是

| NA |

| NB |

=-

λ1

λ2

•

| AF |

| BF |

，①
过A，B分别作准线l的垂线，垂足为A₁，B₁，
则

| NA |

| NB |

=

|AA1|

|BB1|

=

| AF |

| BF |

．②
由①②可得λ₁+λ₂=0．

点评：本题考查抛物线的定义和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查轨迹方程的求法，属于中档题．