Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=a_n²+2a_n，设数列{

1

an2

}的前n项和为T_n，求证：T_n＞

5

32

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：首先，根据等差数列的概念，写出其通项公式，然后，根据裂项求和法进行求解．

解答： 证明：当n=1时，
4s₁=a₁²+2a₁，
∴a₁=0或a₁=2，
∵各项均为正数，
∴a₁=2，
当n≥2时，
4s_n=a_n²+2a_n，①
4s_n-1=a_n-1²+2a_n-1，②
①-②，得
4an=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，②
∴（a_n+a_n-1）[（a_n-a_n-1）-2]=0，
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴a_n=2n，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n，
设b_n=

1

an2

=

1

4n2

＞

1

4

•

1

(n+1)n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)（n≥2），
∴T_n＞

1

4

[

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

]＞

5

32

．
∴结论正确．

点评：本题重点考查了数列的求和公式、等差数列的概念等知识，属于中档题．