Question

已知A，B是抛物线y²=4x上的两点，N（1，0），若存在实数λ，使

AB

=λ

AN

，且|AB|=

16

3

，令A（x_A，y_A），知x_A＞1，y_A＞0，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：存在实数λ，使

AB

=λ

AN

，可得直线AB过焦点N（1，0），可得x_A+x_B+2=

16

3

，λ（1-x_A）=x_B-x_A，可用λ表示x_A，x_B．设直线AB的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，得到x_A•x_B=1．解出即可得出．

解答： 解：∵存在实数λ，使

AB

=λ

AN

，
∴直线AB过焦点N（1，0），
∴x_A+x_B+2=

16

3

，
λ（1-x_A）=x_B-x_A，
解得x_A=

3λ-10

3λ-6

，x_B=

7λ-10

3λ-6

．
设直线AB的方程为y=k（x-1），
联立

y2=4x y=k(x-1)

，化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_A•x_B=1．
∴

3λ-10

3λ-6

•

7λ-10

3λ-6

=1．
化为3λ²-16λ+16=0，
解得λ=

4

3

或4．
∵x_A=

3λ-10

3λ-6

＞1，
∴λ＜2，
∴λ=

4

3

．

点评：本题考查了直线与抛物线的相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．