Question

用数学归纳法证明4ⁿ≥n⁴（n为大于3的正整数）．将4换成其他更大的数能否成立并讨论其规律．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：验证n=4，5不等式成立，假设n=k（k≥4，k∈N），4^k≥k⁴成立．证明当n=k+1时，不等式也成立，注意运用假设，及作差法，即可得证．将4换成其他更大的数，比如m＞4，则有mⁿ≥n^m（n为大于m-1的正整数）．

解答： 证明：当n=4时，显然成立，
当n=5时，4⁵=1024，5⁴=625，4⁵＞5⁴，成立；
假设n=k（k≥4，k∈N），4^k≥k⁴成立．
当n=k+1时，4^k+1=4^k•4≥4k⁴，
4k⁴-（k+1）⁴=[2k²-（k+1）²][2k²+（k+1）²]
=（k²-2k-1）[2k²+（k+1）²]=[（k-1）²-2][2k²+（k+1）²]，
由于k≥3，则（k-1）²-2＞0，2k²+（k+1）²＞0，
则有4k⁴-（k+1）⁴≥0，
则有n=k+1时，4^k+1≥（k+1）⁴成立．
综上，可得，4ⁿ≥n⁴（n为大于3的正整数）．
将4换成其他更大的数，比如m＞4，则有mⁿ≥n^m（n为大于m-1的正整数）．

点评：本题考查不等式的证明，考查运用数学归纳法证明不等式的方法，考查推理能力，属于中档题．