Question

已知函数f（x）=

x-1

x+2

，x∈[2，4]．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若f（x）＜a在x∈[2，4]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接利用函数单调性的定义证明；
（2）由（1）中求出的单调性，利用单调性求得函数在[2，4]上的最大值，则满足f（x）＜a的a的范围可求．

解答： 解：（1）函数f（x）在[2，4]内为增函数．
证明如下：任取2≤x₁＜x₂≤4，
则f(x1)-f(x2)=

x1-1

x1+2

-

x2-1

x2+2

=

(x1-1)•(x2+2)-(x2-1)•(x1+2)

(x1+2)•(x2+2)

=

3(x1-x2)

(x1+2)•(x2+2)

．
∵2≤x₁＜x₂≤4，
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在[2，4]内为增函数；
（2）解：∵函数f（x）在[2，4]内为增函数，
∴函数f（x）在[2，4]内的最大值为f(4)=

4-1

4+2

=

1

2

．
由f（x）＜a在x∈[2，4]上恒成立，
得a＞

1

2

．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用单调性求函数的最值，是中档题．