Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作双曲线渐线的垂线l，若直线l与双曲线的左右两支相交于AB两点，求双曲线的离心率e的取值范围

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的右焦点和渐近线方程，由两直线垂直的条件，求得直线l的方程，代入双曲线方程，运用两根之积小于0，得到b＞a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到范围．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），
渐近线方程为y=

b

a

x，
则垂线l：y=-

a

b

（x-c），
代入双曲线方程，可得，

b4-a4

b2

x²+

2a4c

b2

x-

a4c2+a2b4

b2

=0，
由于直线l与双曲线的左右两支相交于A、B两点，
则上式方程的两根小于0，
即有b＞a，
又b²=c²-a²，
所以c²＞2a²    
则离心率e=

c

a

＞

2

．
故答案为：（

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等．