Question

1．求f（x）=sinxcosx+sinx-cosx的最值．

Answer 1

分析 令t=sinx-cosx，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，将f（x）=sinxcosx+sinx-cosx转化为g（t）=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$，利用二次函数的性质即可求得答案．

解答 解：∵f（x）=sinxcosx+sinx-cosx，
∴令t=sinx-cosx，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
则sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
∴f（x）=sinxcosx+sinx-cosx可转化为：
g（t）=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴g（t）_max=g（1）=1，g（t）_min=g（-$\sqrt{2}$）=-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．
故 f（x）=sinxcosx+sinx-cosx的最小值为：-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，最大值为1．

点评 本题考查二倍角的正弦，考查二次函数的性质，突出考查换元法与配方法，属于中档题．