Question

5．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；
（3）求二面角A-EB-C的大小．
（4）你认为求二面角常用的方法有哪些？请按应用的重要程度写出3种，并就其中一种方法谈谈它的应用条件．

Answer 1

分析 （1）由四边形ACDE是正方形，可得EA⊥AC，AM⊥EC，利用面面垂直的性质定理可得：EA⊥平面ABC，于是可以以点A原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．不妨设AC=BC=2，通过$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{CB}$=0，可得AM⊥CB，即可证明AM⊥平面EBC．
（2）由AM⊥平面EBC，可得$\overrightarrow{AM}$为平面EBC的一个法向量，利用向量夹角公式可得：$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角，即可得出．
（3）分别求出两个半平面的法向量，利用向量夹角公式求出夹角．
（4）求二面角常用的方法有以下3种：①利用法向量的夹角公式；②利用定义；③利用三垂线定理．

解答 （1）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，
∴EA⊥平面ABC，∴可以以点A原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1）．
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1）．$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{CB}$=0，
∴AM⊥CB，又AM⊥EC，∴AM⊥平面EBC．
（2）解：∵AM⊥平面EBC，∴$\overrightarrow{AM}$为平面EBC的一个法向量，
∵$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，2，0），
∴cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}＞$=60^°．
∴直线AB与平面EDC所成的角为30^°．
（3）解：设平面EAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AE}$，且$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{AE}$=0，且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AB}$=0.$\overrightarrow{AE}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，2，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）．
又∵$\overrightarrow{AM}$为平面EBC的一个法向量，且$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），
∴cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AM}|}$=-$\frac{1}{2}$，设二面角A-EB-C的平面角为θ，则cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=60^°．
∴二面角A-EB-C等于60^°．
（4）解：求二面角常用的方法有以下3种：①利用法向量的夹角公式；②利用定义；③利用三垂线定理．
对于①：通过建立空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，利用向量夹角公式即可得出．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方形与等腰三角形的性质、向量的夹角公式、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．