Question

已知函数f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若{c_n}中，c_n=n（6a_n-1），求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的T_n与的大小并说明理由．

Answer 1

（本小题14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在f（x）的图象上，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
令，
由错位相减法可求得，
又，
故．
（Ⅲ）由
当n=1时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=0，
当n=2时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=-6，
当n=3时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=12，
下证n≥3时，，
即证n≥3时，2ⁿ＞2n+1，
∵n≥3时，成立，
∴n≥3时，成立，
综上所述：n=1时，；
n=2时，；
n≥3时，．
分析：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点，故f（x）=2^x-1，又C（n，S_n）在f（x）的图象上，由此能求出{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，由错位相减法可求得，由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）由，能比较T_n与的大小并说明理由．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．