Question

下列命题中，真命题是（　　）

• A、?x∈（3，+∞），x²＞2x+1
• B、?x₀∈[0，

  π

  2

  ]，sinx₀+cosx₀≥2
• C、?x₀∈R，x₀²+x₀=-1
• D、?x∈（

  π

  2

  ，π），tanx＞sinx

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,简易逻辑

分析：由二次函数的单调性，即可判断A；运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可判断B；
由二次方程的判别式，即可判断C；运用第二象限的正切和正弦的符号，即可判断D．

解答： 解：对于A．由于y=x²-2x-1=（x-1）²-2，对称轴为x=1，在（3，+∞）递增，
即有y＞（3-1）²-2=2恒成立，则A正确；
对于B．由于y=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

）的最大值为

2

，则B错误；
对于C．由于x²+x+1=0的判别式为1-4=-3＜0，则方程无实数解，则C错误；
对于D．当x∈（

π

2

，π）时，tanx＜0，sinx＞0，即tanx＜sinx．则D错误．
故选A．

点评：本题考查全称性命题和存在性命题的真假，注意运用二次函数的单调性和二次方程的判别式，以及三角函数的图象和性质，属于基础题和易错题．