Question

已知{a_n}是正项数列，a₁=1，且点（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=x²+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=1+

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=a_n+1，得{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由b_n=1+

1

anan+1

=

1

n(n+1)

+1=

1

n

-

1

n+1

+1，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}是正项数列，a₁=1，
且点（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=x²+1的图象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）b_n=1+

1

anan+1

=

1

n(n+1)

+1=

1

n

-

1

n+1

+1，
∴S_n=（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）+n
=1-

1

n+1

+n
=

n2+2n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．