Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：

EF

，

AP

，

AD

共面；
（2）求证：EF⊥CD．

Answer 1

考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直

专题：

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，BC=2b，PA=2c，求出

EF

=（0，b，c），

AP

=（0，0，2c），

AD

=（0，2b，0），从而

EF

=

1

2

AP

+

1

2

AD

，由此能证明

EF

，

AP

，

AD

共面．
（2）求出

CD

=（-2a，0，0），

EF

=（0，b，c），由

CD

•

EF

=0，能证明CD⊥EF．

解答： 证明：（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2a，BC=2b，PA=2c，
则：A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），
D（0，2b，0），P（0，0，2c），
∵E为AB的中点，F为PC的中点，
∴E（a，0，0），F（a，b，c），
∵

EF

=（0，b，c），

AP

=（0，0，2c），

AD

=（0，2b，0），
∴

EF

=

1

2

AP

+

1

2

AD

，
∴

EF

，

AP

，

AD

共面．
（2）∵

CD

=（-2a，0，0），

EF

=（0，b，c），
∴

CD

•

EF

=（-2a，0，0）•（0，b，c）=0，
∴

CD

⊥

EF

，∴CD⊥EF．

点评：本题考查三个向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．