Question

8．威远中学举行中学生“珍爱地球•保护家园”的环保知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为$\frac{3}{4}$，且相互间没有影响．
（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件A，分别求出选手甲答了3题都对进入复赛概率、选手甲答了4个题，前3个2对1错进入复赛的概率和选手甲答了5个题，前4个2对2错进入复赛的概率，由此能求出选手甲进入复赛的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件A，
则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：$C_3^3{（\frac{3}{4}）^3}=\frac{27}{64}$；
或选手甲答了4个题，前3个2对1错进入复赛概率为：$C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{81}{256}$，
或选手甲答了5个题，前4个2对2错进入复赛概率为：$C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}•{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}=\frac{81}{512}$，
∴选手甲进入复赛的概率$P（A）=\frac{27}{64}+\frac{81}{256}+\frac{81}{512}=\frac{459}{512}$．…（4分）
（Ⅱ）X的可能取值为3，4，5，对应X的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率，
$P（X=3）=C_3^3{（\frac{3}{4}）^3}+C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{7}{16}$…（6分）
$P（X=4）=C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}+C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{45}{128}$…（8分）
$P（X=5）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}×{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{27}{128}$，
X的分布列为：

X	3	4	5
P（X）	$\frac{7}{16}$	$\frac{45}{128}$	$\frac{27}{128}$

…（10分）
∴$EX=3×\frac{7}{16}+4×\frac{45}{128}+5×\frac{27}{128}=\frac{483}{128}$…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．