Question

已知{a_n}是首项为2，公差不为零的等差数列，且a₁，a₅，a₁₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

3n-1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）用首项和公差表示等差数列的a₁，a₅，a₁₇，利用等比中项概念列式求得公差，等差数列的通项公式可求；
（2）利用错位相减法，即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）在等差数列{a_n}中，设公差为d，a₁=2，a₅=2+4d，a₁₇=2+16d，
∵a₁，a₅，a₁₇成等比数列，
∴（2+4d）²=2（2+16d），
即d²=d，
∵d≠0，
∴d=1
∴a_n=2+（n-1）=n+1；
（2）b_n=

an

3n-1

=

n+1

3n-1

=（n+1）•(

1

3

)n-1，
∴S_n=2×(

1

3

) ⁰+3×(

1

3

)1+…+n•(

1

3

)n-2+（n+1）•(

1

3

)n-1，
∴

1

3

S_n=2×(

1

3

) ¹+3×(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n-1+（n+1）•(

1

3

)n，
两式相减的得

2

3

S_n=2+(

1

3

) ¹+(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n-1-（n+1）•(

1

3

)n，
∴

2

3

S_n=2+

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-（n+1）•(

1

3

)n，
∴

2

3

S_n=

5

2

-

2n+5

2×3n

，
∴S_n=

15

4

-

2n+5

4×3n-1

点评：本题考查了等差等比数列的通项公式，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题