Question

13．在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则称曲线上有钝点，下列曲线中“有钝点的曲线”是（　　）
①x²=4y；  ②$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；  ③x²-y²=1；  ④（x-2）²+（y-2）²=4；  ⑤3x+4y=4．

• A． ①②④
• B． ①②⑤
• C． ①④⑤
• D． ①③④

Answer 1

分析 设点P（x，y），曲线上有钝点，?存在点（x，y）使得x²+y²＜1．解出即可判断出结论．

解答 解：设点P（x，y），曲线上有钝点，?存在点（x，y）使得x²+y²＜1．
①令P$（x，\frac{{x}^{2}}{4}）$，则x²+$\frac{{x}^{4}}{16}$＜1，化为x⁴+16x²-16＜0，解得0≤x²＜4$（\sqrt{5}-1）$，满足x²+y²＜1，因此是“有钝点的曲线”．
②由$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，可得：c=1，因此A（-1，0），B（1，0）为椭圆的两个焦点，椭圆上的点对焦点展开的角的最大值为椭圆短轴的两个端点，由b=$\sqrt{2}$，可知：
∠APB为锐角，因此此椭圆上不存在一点P，使∠APB为钝角．
③x²-y²=1，设P（secθ，tanθ），则sec²θ+tan²θ=2tan²θ+1≥1，因此双曲线上不存在一点P，使∠APB为钝角．
④由（x-2）²+（y-2）²=4，设x=2+2cosθ，y=2+2sinθ，则x²+y²=（2+2cosθ）²+（2+2sinθ）²=12+8$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[12-8\sqrt{2}，12+8\sqrt{2}]$，
满足存在点（x，y）使得x²+y²＜1，因此此圆上存在一点P，使∠APB为钝角．适合条件．
⑤取3x+4y=4上点P$（x，1-\frac{3}{4}x）$，则x²+$（1-\frac{3}{4}x）^{2}$=$\frac{25}{16}$$（x-\frac{12}{25}）^{2}$+$\frac{16}{25}$≥$\frac{16}{25}$，因此次直线上存在一点P，使∠APB为钝角．适合条件．
综上可得：“有钝点的曲线”是①④⑤．
故选：C．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、数量积运算性质，不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．