Question

1．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且当x∈（-1，1]时，f（x）=x²+2x．
（1）求当x∈（3，5]时，f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（3，5]上的增减性并证明．

Answer 1

分析 （1）确定f（x）是周期为4的周期函数，当x∈（3，5]时，x-4∈（-1，1]，即可当x∈（3，5]时，f（x）的解析式；
（2）由二次函数的图象及其性质，可以得知f（x）在（3，5]上单调递增，再用定义进行证明．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+2）…①，
∴将x换为x+2，f（x+2）=-f（x+4）…②，
由①②式可得，f（x）=f（x+4），
∴f（x）是周期为4的周期函数，
（1）∵当x∈（-1，1]时，f（x）=x²+2x．
∴当x∈（3，5]时，x-4∈（-1，1]，∴f（x-4）=（x-4）²+2（x-4）=x²-6x+8，
故当x∈（3，5]时，f（x）的解析式为f（x）=x²-6x+8，x∈（3，5]．
（2）由（1）可知，当x∈（3，5]时，f（x）的解析式为f（x）=x²-6x+8，x∈（3，5]．
将解析式进行转化，可得f（x）=（x-3）²-1，
由二次函数的图象及其性质，可以得知f（x）在（3，5]上单调递增．
设x₁，x₂∈（3，5]且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²-6x₁+8-（x₂²-6x₂+8）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-6），
∵x₁，x₂∈（3，4）且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂-6＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（3，5]上单调递增．

点评 本题考查函数的周期性，二次函数的单调性，利用定义研究函数的单调性，本题是一道中档题．