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    【题目】在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.

    【答案】见解析

    【解析】

    以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).

    设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0)，所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).

    则计算即可.

    证明：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).

    设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0)，所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).

    因为=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以,即A1F⊥C1E.

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    （1）求椭圆C的方程；
    （2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．

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    【题目】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（ ）

    A. AC B. BD C. A1D D. A1A

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    【题目】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

    （Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
    （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
    （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

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    【题目】已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

    (1)若,求点D的坐标;

    (2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.

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    【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
    （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
    （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

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    【题目】已知椭圆：经过点（，），且两个焦点，的坐标依次为（1，0）和（1，0）．

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

    （Ⅱ）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．

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