Question

设函数f（x）=（x²+2）lnx，g（x）=2x²+ax，a∈R
（1）证明：f（x）是（0，+∞）上的增函数；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），当x∈[1，+∞）时，F（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）证明f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，通过构造h(x)=2lnx+

2

x2

+1，x∈(0，+∞)，求出函数的导数两条函数的最小值大于0，即可证明f（x）是（0，+∞）上的增函数．------（6分）
（2）化简F（x）=f（x）-g（x）=（x²+2）lnx-2x²-ax≥0，转化为：a在一侧的不等式，构造函数G(x)=

(x2+2)lnx-2x2

x

．通过导数判断函数的单调性求出最小值，即可求解a的范围．

解答： 解：（1）若证明f（x）是（0，+∞）上的增函数，只需证明f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即：f′(x)=2xlnx+

2

x

+x≥0?x(2lnx+

2

x2

+1)≥0?2lnx+

2

x2

+1≥0-------（4分）
设h(x)=2lnx+

2

x2

+1，x∈(0，+∞)，h′(x)=

2

x

-

4

x3

=

2x2-4

x3

所以：h（x）在(0，

2

)上递减，(

2

，+∞)上递增，h（x）最小值h(

2

)=ln2+2＞0
故：f′(x)=2xlnx+

2

x

+x=xh(x)＞0，所以：f（x）是（0，+∞）上的增函数．------（6分）
（2）由F（x）=f（x）-g（x）=（x²+2）lnx-2x²-ax≥0得：
a≤

(x2+2)lnx-2x2

x

在x∈[1，+∞）上恒成立，------------（8分）
设G(x)=

(x2+2)lnx-2x2

x

则G′(x)=

(x2-2)(lnx-1)

x2

，
所以g（x）在(1，

2

)递增，(

2

，e)递减，（e，+∞）递增------------（9分）
所以G（x）的最小值为G（1），G（e）中较小的，G(e)-G(1)=

2

e

-e+2＞0，
所以：G（e）＞G（1），即：G（x）在x∈[1，+∞）的最小值为G（1）=-2，--------（11分）
只需a≤-2-------（12分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，构造法求解函数的最值的应用，考查分析问题与解决问题的能力，难度比较大，考查转化思想的应用．