Question

11．已知函数f（x）=3lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调性即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{3}{x}$-ax-2=$\frac{-{ax}^{2}-2x+3}{x}$，
令g（x）=-ax²-2x+3，
（1）a=0时，g（x）=-2x+3，
令g（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{3}{2}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{3}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{3}{2}$）递增，在（$\frac{3}{2}$，+∞）递减，
（2）a≠0时，g（x）是二次函数，△=4+12a，
①a＞0时，△＞0，图象开口向下，g（x）=0两个根，
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1±\sqrt{1+3a}}{a}$＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递减，
②-$\frac{1}{3}$＜a＜0时，△＞0，图象开口向上，g（x）=0两个根，
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1±\sqrt{1+3a}}{a}$，
而-$\frac{1-\sqrt{1+3a}}{a}$＜0，-$\frac{1+\sqrt{1+3a}}{a}$＞0，
∴f（x）在（0，-$\frac{1+\sqrt{1+3a}}{a}$）递减，在（-$\frac{1+\sqrt{1+3a}}{a}$，+∞）递增，
③a≤-$\frac{1}{3}$时，△≤0，g（x）开口向上，
g（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、二次函数的性质，是一道中档题．