Question

在等差数列{a_n}中，已知a₄=10，且a₃，a₆，a₁₀成等比数列．
（1）求a_n；
（2）设b_n=2 an（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列{a_n}的公差为d，又a₄=10，把a₃，a₆，a₁₀用d表示，结合a₃，a₆，a₁₀成等比数列求得d，则等差数列的通项公式可求；
（2）把（1）中求得的a_n代入b_n=2 an（n∈N^*），然后利用等比数列的前n项和公式求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，又a₄=10，
可得a₃=10-d，a₆=10+2d，a₁₀=10+6d，
由a₃，a₆，a₁₀成等比数列，得（10+2d）²=（10-d）（10+6d），解得d=0或d=1．
若d=0，则a₁=a_n=10，
若d=1，则a₁=a₄-3d=10-3×1=7，a_n=a₁+（n-1）d=n+6．
故a_n=10或a_n=n+6；
（2）由b_n=2 an（n∈N^*），
若a_n=10，则bn=210=1024，故S_n=1024n；
若a_n=n+6；则bn=2n+6，
∵

bn+1

bn

=

2n+7

2n+6

=2，∴数列{b_n}是首项为b1=27=128，公比为2的等比数列，
故Sn=

128(1-2n)

1-2

=2n+7-128．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是中档题．