Question

7．已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（t-2）+f（2t+1）＞0成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用奇函数的定义，可得x＜0的解析式，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）在R上递增．不等式f（t-2）+f（2t+1）＞0即为f（1+2t）＞-f（t-2）=f（2-t），即有1+2t＞2-t，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义域为R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）
又∵当x＞0时，f（x）=x²+2x．
若x＞0，则-x＜0．f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x
∴f（x）=-f（-x）=2x-x²．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{2x-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）当x＞0时，f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，
区间（0，+∞）在对称轴x=-1的右边，为增区间，
由奇函数的性质，可得f（x）在R上递增．
不等式f（t-2）+f（2t+1）＞0即为
f（1+2t）＞-f（t-2）=f（2-t），
即有1+2t＞2-t，解得t＞$\frac{1}{3}$
则t的取值范围是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查奇函数的定义和解析式的求法，考查不等式的解法，注意运用函数的性质，考查运算能力，属于中档题．