Question

12．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，若实数a满足f（log₂a）+f（log_0.5a）≤2f（1），则a的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是偶函数，
∴f（log₂a）+f（log_0.5a）≤2f（1），等价为f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），
即f（log₂a）≤f（1），
即f（|log₂a|）≤f（1），
∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴|log₂a|≤1，
即-1≤log₂a≤1，
即$\frac{1}{2}$≤a≤2，
即a的最小值是$\frac{1}{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．