Question

17．已知函数f（x）=x²-2ax+1，g（x）=x-a，其中a＞0，x≠0．
（1）对任意x∈[1，2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）对任意x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）存在x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以采用分离参数法，导数法研究恒成立问题；
（2）对任意x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，f（x₁）_min＞g（x₂）_max，分别根据函数的单调性求出最值即可，
（3）存在x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，使f（x₁）＞g（x₂）成，则f（x₁）_max＞g（x₂）_min，分别根据函数的单调性求出最值即可．

解答 解：（1））∵x∈[1，2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，∴x²-2ax+1＞x-a，
即a＜$\frac{{x}^{2}-x+1}{2x-1}$，
设h（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{2x-1}$，
则h′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x-1}{（2x-1）^{2}}$，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
当h′（x）＞0时，即1≤x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，函数递增，
当h′（x）＜0时，即$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$＜x≤2，函数递减，
∴h（x）_min=h（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故a的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
（2）f（x）=x²-2ax+1的对称轴为x=a＞0，即f（x）在[-2，-1]单调递减，f（x₁）_min=f（-1）=2+2a
当x₂∈[2，4]时g（x₂）为增函数，g（x₂）_max=g（4）=4-a，
∵对任意x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
∴f（x₁）_min＞g（x₂）_max，
∴2+2a＞4-a，解得a＞$\frac{2}{3}$，
故a的取值范围为（$\frac{2}{3}$，+∞），
（3）存在x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
∴f（x₁）_max＞g（x₂）_min，
∴5+4a＞2-a，
解得a＞-$\frac{3}{5}$，
即a＞0
故a的取值范围为（0，+∞）．

点评 本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．